淺析數(shù)學競賽中的構造法

時間：2022-10-05 19:04:38 數(shù)學畢業(yè)論文我要投稿

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淺析數(shù)學競賽中的構造法

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淺析數(shù)學競賽中的構造法

　　構造法屬于非常規(guī)思維，它適用于對某些常規(guī)方法不易解決的問題，既巧妙，又簡潔。其主要思想是依據(jù)題設條件特點，以所求結(jié)論為方向，在思維中形成新的數(shù)學形式，使得問題在這種形式下，擁有簡捷解決的方法。由于它主要表現(xiàn)出思維的試探性，所以是競賽中重要的解題方法之一。

　　1、構造方程法

　　構造方程通常是構造一些特殊的方程，如一元二次方程等。因為一元二次方程本身具有一些可擴展的內(nèi)容，如方程有實根則判別式大于零或等于零;其根與系數(shù)之間具有非常特殊的關系—韋達定理;方程在區(qū)間上有實根可與函數(shù)和圖象產(chǎn)生對應關系等等。通過構造方程，可以將一些“相等關系”轉(zhuǎn)化為“不等關系”，或者將“不等關系”轉(zhuǎn)化為“相等關系”。

　　例1為實數(shù)，且滿足則求的范圍。

　　分析：由已知條件得，所以根據(jù)韋達定理可構造一元二次方程此方程有兩實根，其判別式不小于零，即有由此可得的取值范圍是[1,9]。

　　這里需要說明的是：在具體的問題中要構造什么方程，要看具體問題的需求而定，但凡是涉及“兩數(shù)之和或兩數(shù)之積”，應該想到可通過韋達定理來構造方程，凡涉及與判別式結(jié)構類似的關系式也應該想到可以構造相應的方程。

　　例2已知是正的外接圓(劣弧)上任一點，求證：

　　例3 確定方程組的所有整數(shù)解方程組

　　分析：此題是較高次的方程組，難度很大，但由可求出，從而可用與方程有關的知識，問題就比較容易解決。

　　2、構造函數(shù)法

　　函數(shù)是數(shù)學中最重要的思想，在初等數(shù)學中，聯(lián)系著數(shù)、式、不等式、數(shù)列、曲線等方面的問題，構造函數(shù)就是從問題本身的特點出發(fā)構造一個新的函數(shù)，再利用函數(shù)性質(zhì)去求得問題的解。

　　例4 已知是滿足的實數(shù)，試確定的最大值。

　　3、構造圖形法

　　例6求函數(shù)的值域。

　　分析：此關系反映了過兩點的直線的斜率，而點是單位圓上的點，所以考慮當在單位圓上運動時直線的斜率的取值范圍，易得斜率范圍。

　　需要注意的是：要構造圖形解題首先考慮一些基本代數(shù)式與幾何圖形的對應關系，如方程與直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及一些基本圖形的性質(zhì)的代數(shù)表達式，如三角函數(shù)的正弦、余弦定理等。

　　4、構造模型

　　將問題中的條件，數(shù)量關系等，在已構造的模型上實現(xiàn)并得到一種解釋，從而實現(xiàn)問題的證明，具體解題過程中有些模型能從問題本身的條件中獲得，而有些模型構造精巧。

　　例7證以頂點在單位圓上的銳角三角形的三角的余弦之和小于該三角形周長之半。

　　5、構造不等式法

　　在一些問題特別是函數(shù)的最值問題中，其條件或函數(shù)關整理系式的構成，往往隱含著一些限制條件，如方程有解時，一些基本不等式等，充分利用它們可構成不等式，使問題得到解決。

　　(全國高中數(shù)學聯(lián)賽)

　　6、構造距離法

　　例10設，求的最小值。

　　分析：可變形為。其中為點與點之間距離的平方，而此兩點分別在直線及上，根據(jù)兩直線位置情況，不難知道兩直線上的點之間最短距離為。從而可知的最小值為6。

　　7、構造對應關系

　　所謂構造對應關系即將一件事與另一件事相對應，在處理一些計數(shù)問題時常用這種方法，由于有時直接滿足某些要求的元素的個數(shù)可能比較困難，但考慮與之相對應的另一類元素就可能較容易。

　　例11試問方程有多少組正整數(shù)解。

　　分析：可構造這樣一個對應關系：將2002個完全相同的球排成一排，則它們有2001個間隔，將1000塊板插入這2001個間隔中(每間隔只能插進一個板)，則顯然每組插法與原方程的每一組解產(chǎn)生一一對應關系，而此時2001個間隔中人選1000個間隔分別插入一塊板，顯然共有種不同的插法，所以原方程共有個不同的整數(shù)解。

　　構造法的應用，對于考試及競賽中靈活應試，以及培養(yǎng)能力、啟迪思維具有十分重要的意義。上面僅僅是常見的集中構造法，還有很多構造類型，如構造復數(shù)、構造等價命題、構造數(shù)列、構造恒等式、構造結(jié)論、構造復數(shù)等。在數(shù)學構造中，針對不同的題型，巧妙的利用題中條件或結(jié)論使問題得到解決。這種獨到的方法往往在解題過程中使解題思路開闊很多，更減少了解題過程中不必要的麻煩。但同時，構造法是一種較靈活的方法，不同的題型要用不同的方法來解決�？傊�，構造法是一種靈活性很強的數(shù)學解題方法，它要求解題者具備扎實的基礎知識，敏銳的觀察能力及豐富的想象力，這樣才能在做題過程中起到事半功倍的效果。

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