探究泰勒公式求函數(shù)極限的方法

時間：2022-10-03 01:19:20 數(shù)學畢業(yè)論文我要投稿

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探究泰勒公式求函數(shù)極限的方法

　　在數(shù)學分析中，函數(shù)極限的概念占有主要的地位并以各種形式出現(xiàn)，因此掌握好函數(shù)極限的求解方法是學習好數(shù)學分析的關鍵環(huán)節(jié).本文就用泰勒公式求極限給予一個簡單的概括，望對讀者有所幫助.

　　【摘要】對于求解函數(shù)極限的方法，有很多版本的數(shù)學分析書本中都談到，很多參考文獻和報刊中都詳細的講解了關于冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)極限的求解方法.裴禮文教授也詳細的講述了關于用洛必達法則來求函數(shù)的極限.而對于陳文燈教授也講述了關于用等價無窮小與泰勒公式來求解函數(shù)的極限.以上關于用泰勒公式求函數(shù)極限的方法，本人也做了一些總結.

　　【關鍵詞】函數(shù);極限;泰勒公式

　　1 準備工作

　　在我們所學的微積分中，其所研究的對象是函數(shù).對于變量之間是否有函數(shù)關系，就是要看是否存在一種對應原則，使得按照這個對應規(guī)則，當其中一個變量或幾個變量(稱為自變量)的取值確定之后，余下的另一個變量(稱為因變量)的取值就被確定了.只有一個自變量的函數(shù)稱為一元函數(shù)，有多個自變量的函數(shù)稱為多元函數(shù).

　　函數(shù)極限的兩個定義：

　　(1)設f是在[a，+∞)上的一個函數(shù)，A是一個已經確定的數(shù).如果對任意所給的ε>0，都存在一個正數(shù)M，其中M大于或等于a，使得當x>M時有f(x)-A<ε，則稱函數(shù)f當x趨向+∞時它是以A為它的極限值，我們記為f(x)→A(x→+∞).

　　在上述中正數(shù)M的作用和函數(shù)極限的定義差不多，表明x是充分大的程度;x是比M大的所有實數(shù)，而不只是一個正整數(shù)，因此，當x趨向正無窮大時，函數(shù)f以a為極限那么：a的很小的領域內必含有f在正無窮大的一個領域內的全部函數(shù)值.

　　(2)設函數(shù)f在以點a的某一個Uo(a，δ′)空心領域內有定義，其中A是一個定數(shù)，如果對于任意的一個ε>0，存在正數(shù)δ(<δ′)，使得當0

　　2 利用泰勒公式求極限

　　2.1 以下是一些常見的：

　　2.2 利用泰勒公式求不確定的式子中的極限

　　設f(x)與g(x)在x=a的泰勒公式分別是

　　f(x)=A(x-a)n+o((x-a)n)，g(x)=B(x-a)m+o((x-a)m)，

　　其中A≠0，B≠0，則：

　　解：因為

　　又因為sinx2～x2(x→0)

　　3 總結

　　用泰勒求極限的方法，在我們具體遇到問題時要靈活運用它.對與常見的幾種函數(shù)的泰勒公式展開式要記住，并靈活運用.總之，對求解函數(shù)的極限，我們對具體問題運用什么方法要具體對待.

　　【參考文獻】

　　[1]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，1993：49.

　　[2]陳文燈.高等數(shù)學輔導[M].北京：世界圖書出版社，2004：90-102.

　　[3]劉玉璉，付沛仁.數(shù)學分析講義[M].北京：高等教育出版社，2010：13-21.