- 相關推薦
淺議高中數學中抽象函數問題的解法論文
本文從多個方面介紹了數學抽象函數的應用，特別是從平移的角度說明了抽象函數的對稱問題，并就典型例題加以分析解答，對學生的常見錯誤進行了剖析。
抽象函數的有關內容一直是學生學習的一個難點，關于抽象函數題目類型較多，形式靈活多變，考查內容無論從深度和廣度，給人耳目一新的感受，現就其中幾個主要問題加以分類解析。
一、求抽象函數的定義域
1. 若已知函數f [g(x)]的定義域為x∈(a，b)，求函數f(x)。
解決這類問題的方法是：利用a 例1. 已知函數f(x+1)的定義域是[-2，3]，求y=f(x)的定義域。
解：因為函數f(x+1)的定義域是[-2，3]，所以-2≤x≤3
所以-1≤x+1≤4， 因此y=f(x)的定義域是[-1，4]
2. 若已知函數f(x)的定義域為x∈(a，b)，求f [g(x)]函數的定義域。
解決這類問題的方法是：a 例2. 已知函數f(x)的定義域為(0，1]，求函數g(x)=f(x+a)+f(x-a)(- 解：因為函數f(x)的定義域為(0，1]
所以0 由于- 所以不等式組(Ⅰ)的解為-a 即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-
二、抽象函數的周期性和奇偶性
1. 抽象函數的周期性
例3. 定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=-f(x+2)，且當x∈(-1，1]時，f(x)=x2+2x，
求當x∈(3，5]時，f(x)的解析式。
解：∵f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴f(x)是以4為周期的周期函數
設x∈(3，5]時，則-1 ∴f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3 評注：若對函數f(x)定義域內的任意，恒有下列條件之一成立(以下式子分母不為零，a≠0)
①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-
�、躥(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)
則函數f(x)是以2a為周期的周期函數①
2. 抽象函數的奇偶性
奇、偶函數的定義是判斷函數奇偶性的主要依據，有時為了便于判斷函數的奇偶性，也往往需要先將函數進行化簡，或運用定義的等價形式，但對于抽象函數的奇偶性的判斷主要是用賦值法，構造出定義的形式。
例4. 已知定義在上的函數f(x)，對于任意x，y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)，且f(0)≠0
(1)求f(0)的值
(2)判斷函數f(x)的奇偶性
解：(1)令x=y=0，則有2f(0)=2[f(0)]2 ∵f(0)≠0∴ f(0)=1
(2)令x=0，得f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)=2f(y)
所以f(-y)=f(y)這說明函數f(x)是偶函數。
三、抽象函數圖像的對稱變換
結論1：①函數y=f(-x)與函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱;
②函數y=-f(x)與函數y=f(x)的圖像關于軸對稱;
�、酆瘮祔=-f(-x)與函數y=f(x)的圖像關于原點軸對稱;
④函數y=f-1(x)與函數y=f(x)的圖像關于直線y=x軸對稱。
結論2：若對定義域內的一切x均有f(x+m)=f(n-x)成立，則函數y=f(x)的圖像關于直線x= 對稱。
結論3：函數y=f(x+a)與y=f(-x+b)的圖像關于直線x=對稱(a，b為常數)。
例5. 設函數y=f(x)的定義域為，則函數y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖像關于( )
A. 直線y=0對稱 B. 直線x=0對稱
C. 直線y=1對稱 D. 直線x=1對稱
錯解：因為函數y=f(x)的定義域為R，且f(x-1)=f(1-x)，所以函數y=f(x)的圖像關于直線x=0對稱，故選擇B。
錯解分析：錯誤的原因是將兩個不同的對稱問題混為一談，即將兩個不同函數圖像的對稱問題，錯誤地當成一個函數的圖像對稱問題，從而導致錯誤。
正解：因為函數y=f(x)的定義域為R，而y=f(x-1)的圖像是y=f(x)圖像向右平移1個單位而得到的f(1-x)=f[-(x-1)]的圖像是y=f(-x)圖像向右平移1個單位而得到的，又因為f(x)與f(-x)的圖像關于y軸對稱，因此函數y=f(x-1)與y=f(1-x的圖像關于直線x=1對稱，故應該選擇D。
四、求抽象函數的解析式
解決抽象函數解析式的問題，關鍵是構造出函數f(x)。通常采取賦值法，賦予恰當的數值或代數式后，通過合理運算推理，最后得出結論。
例6. 已知f(0)=1，f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1)，求函數f(x)的解析式。
解：令a=0，則 f(-b)=f(0)-b(-b-1)=1+b(b-1)=b2-b+1
再令-b=x，即得f(x)=x2+x+1
【淺議高中數學中抽象函數問題的解法論文】相關文章：
談哲學中的具體與抽象論文10-06
問題情境高中數學的論文10-09
淺議建筑設計防火規(guī)范中若干問題10-26
旅游管理中的問題及措施論文10-09
高中數學等額還貸問題思考論文10-09
淺議中小學音樂教育中的審美教育論文10-10
西方現代美術中的具象與抽象10-26
旅游管理中的問題及對策論文12-20
高中數學教學存在問題及對策論文10-09