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中學(xué)數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題技巧
數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題技巧，各位同學(xué)知道怎么簡(jiǎn)單的節(jié)函數(shù)嗎?看看下面吧!大家不需要看到函數(shù)就怕怕，其實(shí)有技巧的哦!
初中數(shù)學(xué)函數(shù)解題技巧
1、注重“類比”思想
不同的事物往往具有一些相同或相似的屬性，人們正是利用相似事物具有的這種屬性，通過(guò)對(duì)一事物的認(rèn)識(shí)來(lái)認(rèn)識(shí)與它相似的另一事物，這種認(rèn)識(shí)事物的思維方法就是類比法。
初中學(xué)習(xí)的正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)在概念的得來(lái)、圖象性質(zhì)的研究、及基本解題方法上都有著本質(zhì)上的相似。
因此陽(yáng)光學(xué)習(xí)網(wǎng)劉老師指出，采用類比的方法不但省時(shí)、省力，還有助于學(xué)生的理解和應(yīng)用。
是一種既經(jīng)濟(jì)又實(shí)效的教學(xué)方法。
2、注重“數(shù)形結(jié)合”思想
數(shù)形結(jié)合的思想方法是初中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法。
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。
而數(shù)形結(jié)合就是通過(guò)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。
它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面，利用它可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長(zhǎng)。
函數(shù)的三種表示方法：解析法、列表法、圖象法本身就體現(xiàn)著函數(shù)的“數(shù)形結(jié)合”。
函數(shù)圖象就是將變化抽象的函數(shù)“拍照”下來(lái)研究的有效工具，函數(shù)教學(xué)離不開(kāi)函數(shù)圖象的研究。
3、注重自變量的取值范圍
自變量的取值范圍，是解函數(shù)問(wèn)題的難點(diǎn)和考點(diǎn)。
正確求出自變量取值范圍，正確理解問(wèn)題，并化歸為解不等式或不等式組。
這需要學(xué)生掌握函數(shù)的思想，不等式的實(shí)際應(yīng)用，全面考慮取值的實(shí)際意義。
4、注重實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題
學(xué)習(xí)函數(shù)的主要目的之一就是在復(fù)雜的實(shí)際生活中建立有效的函數(shù)模型，利用函數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題。
這也是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)，因此新教材大力倡導(dǎo)函數(shù)與實(shí)際的應(yīng)用。
初中掌握數(shù)學(xué)解題方法和技巧很重要，在德智教育網(wǎng)一線名師將在線對(duì)我們進(jìn)行一對(duì)一輔導(dǎo)數(shù)學(xué)函數(shù)，讓同學(xué)們能夠掌握函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)，效地形成“類比”和“數(shù)形結(jié)合”等數(shù)學(xué)思想，從而形成自己的在數(shù)學(xué)函數(shù)方面的解題方法和技巧。
初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)做題技巧
I.定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：
y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax^2;+bx+c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h，k)] 交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1，0)和 B(x2，0)的拋物線] 注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像 在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x²的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。
對(duì)稱軸為直線 x = -b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。
|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0)，對(duì)稱軸在y軸左; 當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0)，對(duì)稱軸在y軸右。
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) Δ= b^2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。
V.二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程)， 即ax^2;+bx+c=0 此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
畫拋物線y=ax2時(shí)，應(yīng)先列表，再描點(diǎn)，最后連線。
列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心，選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值，描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢(shì)。
二次函數(shù)解析式的幾種形式
(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù)，a≠0).
(2)頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù)，a≠0).
(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根，a≠0.
說(shuō)明：(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k)，h=0時(shí)，拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí)，拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí)，拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且對(duì)稱軸是y軸，則設(shè)y=ax^
2;如果對(duì)稱軸是y軸，但不過(guò)原點(diǎn)，則設(shè)y=ax^2+k 定義與定義表達(dá)式 一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax^2+bx+c (a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向，a>0時(shí)，開(kāi)口方向向上，a<0時(shí)，開(kāi)口方向向下。
IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大。)則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量，y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
�、僖话闶剑簓=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
�、陧旤c(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h，k) ]：y=a(x-h)^2+k
�、劢稽c(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]：y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化：
�、僖话闶胶晚旤c(diǎn)式的關(guān)系對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即 h=-b/2a=(x1+x2)/2 k=(4ac-b^2)/4a
�、谝话闶胶徒稽c(diǎn)式的關(guān)系 x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)的解題方法
圖形變換包含平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、位似四種變換，那么二次函數(shù)的圖像在其圖形變化(平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn))的過(guò)程中，如何完成解析式的確定呢?解決此類問(wèn)題的方法很多，關(guān)鍵在于解決問(wèn)題的著眼點(diǎn)。
筆者認(rèn)為最好的方法是用頂點(diǎn)式的方法。
因此解題時(shí)，先將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)具體圖形變換的特點(diǎn)，確定變化后新的頂點(diǎn)坐標(biāo)及a值。
1、平移：二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)平移變換不會(huì)改變圖形的形狀和開(kāi)口方向，因此a值不變。
頂點(diǎn)位置將會(huì)隨著整個(gè)圖像的平移而變化，因此只要按照點(diǎn)的移動(dòng)規(guī)律，求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可確定其解析式。
例1.將二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖像向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到的新的圖像解析式為_(kāi)____
分析：將y=x2-2x-3化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=(x-1)2-4，a值為1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，將其圖像向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，那么頂點(diǎn)也會(huì)相應(yīng)移動(dòng)，其坐標(biāo)為(2，-2),由于平移不改變二次函數(shù)的圖像的形狀和開(kāi)口方向，因此a值不變，故平移后的解析式為y=(x-2)2-2。
2、軸對(duì)稱：此圖形變換包括x軸對(duì)稱和關(guān)于y軸對(duì)稱兩種方式。
二次函數(shù)圖像關(guān)于x軸對(duì)稱的圖像，其形狀不變，但開(kāi)口方向相反，因此a值為原來(lái)的相反數(shù)。
頂點(diǎn)位置改變，只要根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定其解析式。
二次函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的圖像，其形狀和開(kāi)口方向都不變，因此a值不變。
但是頂點(diǎn)位置會(huì)改變，只要根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出新的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可確定其解析式。
例2.求拋物線y=x2-2x-3關(guān)于x軸以及y軸對(duì)稱的拋物線的解析式。
分析：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，a值為1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-4)，若關(guān)于x軸對(duì)稱，a值為-1，新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)，故解析式為y=-(x-1)2+4;若關(guān)于y軸對(duì)稱，a值仍為1，新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-4)，因此解析式為y=(x+1)2-4。
3、旋轉(zhuǎn)：主要是指以二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角為180°的圖像變換，此類旋轉(zhuǎn)，不會(huì)改變二次函數(shù)的圖像形狀，開(kāi)口方向相反，因此a值會(huì)為原來(lái)的相反數(shù)，但頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，故很容易求其解析式。
例3.將拋物線y=x2-2x+3繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則所得的拋物線的函數(shù)解析式為_(kāi)_______
分析：y=x2-2x+3=(x-1)2+2中，a值為1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，拋物線繞其頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，a值為-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，故解析式為y=-(x-1)2+2。
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